Как найти среднее арифметическое (пример)

Как найти среднее арифметическое (пример): сложить все числа набора и разделить сумму на их количество. Если известны не сами числа, а частоты повторений или размеры групп, среднее считают как взвешенное — с учётом веса каждого значения. Простое сложение средних без учёта количества чисел в каждой группе даёт неверный результат.

$\bar{x} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

Разбор по случаям

Примеры

Четыре числа. Дан набор чисел $4, 7, 9, 12$. Сумма чисел равна $4 + 7 + 9 + 12 = 32$. Количество чисел в наборе $n = 4$.

Среднее арифметическое находят делением: $\bar{x} = \frac{32}{4} = 8$.

Это базовый случай: числа известны полностью, а действия — сложение и деление на количество слагаемых. Проверка: если каждое из четырёх чисел заменить их средним значением $8$, общая сумма набора не изменится и снова составит $8 \cdot 4 = 32$, как и в исходных данных задачи.

Две группы разного размера. Первая группа из $n_1 = 5$ чисел имеет среднее $\bar{x}_1 = 8$, вторая из $n_2 = 3$ чисел — среднее $\bar{x}_2 = 14$.

Общее среднее находят через суммы: $\bar{x} = \frac{8 \cdot 5 + 14 \cdot 3}{5 + 3} = \frac{82}{8} = 10{,}25$.

Простое сложение $8$ и $14$ пополам дало бы неверный ответ, потому что группы содержат разное количество чисел. Проверка: сумма первой группы равна $8 \cdot 5 = 40$, второй группы — $14 \cdot 3 = 42$, а вместе $40 + 42 = 82$, что точно совпадает с числителем в расчёте общего среднего.

Частые ошибки

• Делят сумму чисел на количество, забыв прибавить одно из слагаемых набора.
• Складывают средние двух групп и делят пополам, не учитывая разное количество чисел в группах.
• Путают среднее арифметическое с медианой упорядоченного набора чисел.

Коротко

Как найти среднее арифметическое (пример) — разделить сумму чисел набора на их количество, а для групп разного размера учесть вес каждой группы. Формула меняется только при переходе от отдельных чисел к частотам или подгруппам.