Как найти сумму арифметической прогрессии

Как найти сумму арифметической прогрессии: сложить первый и последний член, разделить пополам и умножить на число членов n: S_n = (a_1 + a_n)/2 · n. Если последний член неизвестен, его находят по формуле a_n = a_1 + (n-1)d, где d — разность прогрессии. Подставив это выражение в исходную формулу, получают вторую форму: S_n = (2a_1 + (n-1)d)/2 · n.

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Разбор по случаям

Примеры

Сумма по первому и последнему члену. Дана арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 3$, последний член $a_{10} = 30$, а число членов $n = 10$. Чтобы получить сумму, сначала складывают крайние члены и делят результат пополам: $\frac{3+30}{2} = 16{,}5$.

Затем умножают полученное число на количество членов: $S_{10} = 16{,}5 \cdot 10 = 165$.

Такой способ подходит всегда, когда последний член прогрессии уже известен по условию задачи и не нужно искать разность отдельно.

Сумма через первый член и разность. Прогрессия начинается с первого члена $a_1 = 5$, разность между соседними членами равна $d = 4$, а число членов равно $n = 6$. Сначала находят удвоенный первый член: $2a_1 = 10$. Затем к нему прибавляют произведение $(n-1)d = 5 \cdot 4 = 20$, получая в сумме $30$.

Итоговая сумма прогрессии равна $S_6 = \frac{30}{2} \cdot 6 = 90$.

Проверка прямым сложением членов 5, 9, 13, 17, 21 и 25 подтверждает этот же результат.

Частые ошибки

• Думают, что сумма арифметической прогрессии всегда равна произведению первого члена на их число, забывая про последний член.
• Подставляют в формулу число членов вместо разности прогрессии, перепутав n и d.
• Находят последний член как a_1 + nd вместо правильной формулы a_1 + (n-1)d.

Коротко

Сумма арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на их количество, а при неизвестном последнем члене его сначала находят через разность. Так отвечают на вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии, в задачах школьного курса алгебры.