Как найти сумму квадратов

Как найти сумму квадратов — если чисел немного и они уже известны, каждое возводят в квадрат отдельно и складывают результаты между собой. Для ряда первых n натуральных чисел существует готовая формула через произведение n, числа n+1 и числа 2n+1, делённое на 6. Если известны только сумма и произведение двух чисел, их квадраты находят через тождество, не находя сами числа отдельно.

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Разбор по случаям

Примеры

Три произвольных числа. Для чисел $3$, $4$ и $5$ результат считается напрямую: $3^2+4^2+5^2 = 9+16+25 = 50$.

Готовой формулы для трёх произвольных чисел не существует, поэтому каждое число возводят в квадрат по отдельности. Такой способ применяют всегда, если чисел мало и их точные значения уже известны заранее из условия задачи. Все три результата затем складывают между собой.

Первые пять натуральных чисел. Для первых пяти натуральных чисел применяют формулу $\sum_{k=1}^{5}k^2=\frac{5\cdot6\cdot11}{6}$.

Вычисляем: $\frac{5\cdot6\cdot11}{6} = \frac{330}{6} = 55$.

Такая формула экономит много времени при больших значениях n, когда прямое сложение чисел становится очень долгим и неудобным занятием для школьника на контрольной работе в классе. Прямая проверка $1+4+9+16+25=55$ подтверждает, что оба способа дают одинаковый результат.

Частые ошибки

• Путают выражение $a^2+b^2$ с квадратом суммы $(a+b)^2$, хотя это совсем разные величины.
• Применяют формулу для ряда натуральных чисел к произвольному набору чисел не по порядку.
• Забывают вычесть удвоенное произведение чисел при использовании готового школьного тождества.

Коротко

Их считают напрямую, возводя каждое число в квадрат и складывая все результаты между собой, а для ряда натуральных чисел от 1 до n применяют готовую формулу. Как найти сумму квадратов, показывают оба способа: прямое вычисление и формулу для последовательности с проверкой ответа.