Как найти сумму точек экстремума функции

Как найти сумму точек экстремума функции: находят производную заданной функции, приравнивают её к нулю и решают полученное уравнение. Затем для каждого корня проверяют смену знака производной — только такие точки действительно являются экстремумами, а не любой корень уравнения. После отбора всех подходящих точек их координаты x складывают между собой и получают итоговую сумму точек экстремума функции.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Кубическая функция без множителей. Дана функция $y = x^3 - 3x$. Находим производную: $y' = 3x^2 - 3$. Приравниваем к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда $x^2 = 1$ и $x = \pm 1$. Проверка знаков показывает, что оба корня — точки экстремума: при $x=-1$ максимум, при $x=1$ минимум. Сумма точек экстремума равна $-1 + 1 = 0$, а это следствие нечётности исходной функции.

Кубическая функция с разложением. Дана функция $y = x^3 - 6x^2 + 9x$. Находим производную: $y' = 3x^2 - 12x + 9$. Раскладываем на множители: $y' = 3(x-1)(x-3)$, корни $x = 1$ и $x = 3$. Оба корня меняют знак производной, значит это точки экстремума: при $x=1$ максимум, при $x=3$ минимум. Сумма равна $1 + 3 = 4$, что нельзя было предсказать без вычислений.

Частые ошибки

• Складывают значения самой функции в точках экстремума вместо координат этих же точек x, хотя вопрос именно про точки на оси абсцисс.
• Считают точкой экстремума абсолютно любой корень производной, не проверив смену знака слева и справа от этого корня.
• Забывают учесть точки, где сама производная не существует, хотя функция там определена, а знак производной всё же меняется на противоположный.

Коротко

Как найти сумму точек экстремума функции — значит решить уравнение производной, отобрать только корни со сменой знака и сложить их координаты x. Значения самой функции в этих точках для итоговой суммы не используются вообще.