Как найти промежутки знакопостоянства функции

Как найти промежутки знакопостоянства функции: сначала находят её нули и точки разрыва, отмечают их на числовой оси, а затем определяют знак функции на каждом получившемся промежутке подстановкой пробной точки. Такой способ называют методом интервалов, и он одинаково подходит для многочленов и для дробно-рациональных функций. Для функции $f(x) = (x-2)(x-3)$ нули $x=2$ и $x=3$ делят ось на три части, а знак чередуется через каждый простой корень.

$f(x) = (x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратичная функция. Дана функция $f(x) = (x-2)(x-3)$ с корнями $x=2$ и $x=3$. Оба корня простые, поэтому знак функции меняется при переходе через каждый из них. Метод интервалов делит ось на три участка. Пробная точка $x=4$ даёт $f(4) = 2 \cdot 1 = 2 > 0$, значит справа от 3 функция положительна. Чередуя знак на каждом корне, получают: $f(x) > 0$ при $x<2$ и $x>3$, а $f(x) < 0$ при $2<x<3$.

Дробно-рациональная функция. Для функции $g(x) = \frac{x-4}{x+1}$ числитель равен нулю при $x=4$, а знаменатель обращается в нуль при $x=-1$, поэтому в этой точке функция не определена и её отмечают выколотым кружком. Эти точки делят ось на три промежутка. Пробная точка $x=0$ попадает в средний промежуток и даёт $g(0) = -4$, значит на промежутке $(-1;4)$ функция отрицательна, а на соседних промежутках — положительна.

Частые ошибки

• Точку разрыва знаменателя не отмечают на оси и включают её в промежуток знакопостоянства как обычный корень.
• Забывают, что через корень чётной кратности знак функции не меняется, а функция лишь касается оси.
• Подставляют пробную точку с ошибкой в арифметике и получают неверный знак сразу для всего промежутка.

Коротко

Как найти промежутки знакопостоянства функции, показывает разбиение числовой оси нулями и точками разрыва с последующей проверкой знака пробной точкой на каждом участке. Такой способ работает для любой функции, заданной формулой, дробью или графиком.