Как найти точку пересечения двух линейных функций

Чтобы понять, как найти точку пересечения двух линейных функций, приравнивают их правые части: $k_1x+b_1=k_2x+b_2$, и находят $x$ из этого уравнения. Полученное значение $x$ подставляют в любую из исходных функций и находят $y$ — так получают обе координаты общей точки. Если угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ равны, а свободные члены разные, прямые параллельны и общей точки у них нет вовсе. Графически эта точка — место, где два графика пересекаются на координатной плоскости, поэтому решение системы можно дополнительно проверить чертежом.

$k_1x + b_1 = k_2x + b_2$

Разбор по случаям

Примеры

Разные коэффициенты. Функции $y=2x+1$ и $y=-x+4$. Приравниваем: $2x+1=-x+4$, откуда $3x=3$ и $x=1$. Подставляем в первую функцию: $y=2\cdot1+1=3$. Точка пересечения $(1;3)$, проверка по второй функции: $y=-1+4=3$ совпадает, значит координаты найдены верно.

Параллельные прямые. Функции $y=3x-2$ и $y=3x+4$ имеют одинаковый угловой коэффициент $k=3$. Приравнивание $3x-2=3x+4$ даёт $-2=4$, что неверно ни при каком $x$, значит общей точки у прямых нет — на графике они идут строго параллельно друг другу.

Частые ошибки

• Подставляют найденный x не в исходную функцию, а в промежуточное уравнение, и получают неверную координату y.
• Не проверяют результат по второй функции и пропускают собственную ошибку в вычислениях.
• Считают, что точка пересечения линейных функций существует даже при равных угловых коэффициентах, и пытаются её найти.

Коротко

Итог: как найти точку пересечения двух линейных функций — приравнять их правые части, найти x, а затем подставить его в любую из функций и найти y. Если угловые коэффициенты совпадают, а свободные члены разные, точки пересечения не существует.