Как найти среднюю скорость в алгебре

Как найти среднюю скорость в алгебре: если расстояние туда и обратно одинаковое, а скорости разные, применяют формулу среднего гармонического $v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$, а не среднее арифметическое двух скоростей.

Расстояние в таких задачах часто обозначают переменной s, выражают время каждого участка пути через s и соответствующую скорость, складывают отдельно все пути и все времена, а после деления одной суммы на другую переменная s полностью сокращается и в ответе остаётся только число.

$v_{sr} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

Разбор по случаям

Примеры

Путь туда и обратно. Автомобиль ехал из города в деревню со скоростью $v_1=60\text{ км/ч}$, а обратно тем же маршрутом — со скоростью $v_2=40\text{ км/ч}$, расстояние в обе стороны одинаковое.

Среднюю скорость всей поездки находят по формуле среднего гармонического $v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$: подставляют числа и получают $v_{sr}=\frac{2\cdot60\cdot40}{60+40}=\frac{4800}{100}=48\text{ км/ч}$.

Обычное среднее арифметическое скоростей $(60+40)/2=50\text{ км/ч}$ даёт здесь неверный, завышенный результат.

Доказательство через переменную s. Пусть расстояние туда и обратно одинаковое и равно $s$ км, скорость туда $v_1=80\text{ км/ч}$, а обратно $v_2=20\text{ км/ч}$. Время в пути туда равно $t_1=s/80$, обратно $t_2=s/20$, весь пройденный путь составляет $2s$, а всё время движения — $s/80+s/20=s/16$.

Средняя скорость получается делением: $v_{sr}=2s:(s/16)=32\text{ км/ч}$, при этом переменная $s$ полностью сокращается и не остаётся в окончательном числовом ответе.

Частые ошибки

• Берут обычное среднее арифметическое двух скоростей вместо формулы через сумму и произведение скоростей.
• Забывают, что формула среднего гармонического работает только при равных расстояниях, а не при равных временах в пути.
• Не сокращают переменную расстояния s в конце решения и оставляют её в числовом ответе.

Коротко

Как найти среднюю скорость в алгебре, определяет соотношение путей и времени: при равных расстояниях работает среднее гармоническое, а при равных временах — среднее арифметическое скоростей. Переменная расстояния или времени в правильном решении всегда сокращается.