Дана гипотенуза и угол, как найти катеты

«Дана гипотенуза и угол, как найти катеты» — типовая формулировка, которая решается через синус и косинус: катет, противолежащий углу α, равен a = c·sin α, а прилежащий катет равен b = c·cos α. Для табличных углов 30°, 45° и 60° значения берут из таблицы. Если вместо угла известен один из катетов, второй находят через теорему Пифагора.

$a = c\sin\alpha,\ b = c\cos\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

гипотенуза и один катет. Гипотенуза $c = 13$ см, катет $a = 5$ см.

По теореме Пифагора находим второй катет: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Треугольник со сторонами $5$, $12$ и $13$ см — классический прямоугольный треугольник со всеми целыми сторонами, часто встречающийся в школьных и вступительных экзаменационных задачниках по геометрии для девятого и десятого класса общеобразовательной школы и колледжа страны.

гипотенуза и угол 30°. Гипотенуза $c = 10$ см, острый угол $\alpha = 30°$.

Противолежащий катет равен $a = 10\cdot0{,}5 = 5$ см, а прилежащий катет равен $b = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8{,}66$ см.

Сумма квадратов катетов проверочно равна квадрату гипотенузы: $25 + 75 = 100$, значит все вычисления здесь выполнены совершенно верно и без единой ошибки в этой типовой геометрической школьной задаче для итоговой проверки знаний обычного ученика.

Частые ошибки

• Путают, какой катет прилежащий, а какой противолежащий данному углу, и по ошибке меняют синус с косинусом местами.
• Забывают, что при переходе ко второму острому углу β = 90° − α синус и косинус в формулах полностью меняются ролями.
• Подставляют в теорему Пифагора не гипотенузу, а один из катетов, и в итоге получают отрицательное число под корнем.

Коротко

Вопрос «Дана гипотенуза и угол, как найти катеты» решается через умножение гипотенузы на синус и косинус острого угла, а при табличных углах готовые значения берут из таблицы. Если вместо угла известен один катет, второй находят обычной теоремой Пифагора.