Как найти угол между векторами в кубе

Чтобы понять, как найти угол между векторами в кубе, вводят систему координат с началом в одной из вершин и записывают векторы через координаты рёбер. Например, при ребре куба 2 см вектор главной диагонали имеет координаты (2; 2; 2), а вектор ребра — (2; 0; 0). Косинус угла между ними равен их скалярному произведению, делённому на произведение длин, и составляет примерно 0,577, а сам угол около 55 градусов.

$\cos\alpha = \frac{a \cdot b}{|a||b|}$

Разбор по случаям

Примеры

Ребро куба 2 см. Куб с ребром 2 см, вершина $A$ в начале координат. Вектор ребра $AB = (2; 0; 0)$, вектор главной диагонали $AC_1 = (2; 2; 2)$. Скалярное произведение: $AB \cdot AC_1 = 4$. Длины векторов: $|AB| = 2$, $|AC_1| = 2\sqrt{3}$.

Косинус угла: $\cos\alpha = 4 : (2 \cdot 2\sqrt{3}) \approx 0,577$, угол между ребром и диагональю $\alpha \approx 55^\circ$.

Ребро куба 1 см. Куб с ребром 1 см, из вершины $A$ выходят две диагонали соседних граней: $AC = (1; 1; 0)$ и $AB_1 = (1; 0; 1)$. Скалярное произведение: $AC \cdot AB_1 = 1$. Длины векторов: $|AC| = \sqrt{2}$, $|AB_1| = \sqrt{2}$. Косинус угла: $\cos\alpha = 1 : 2 = 0,5$, значит угол между диагоналями граней равен ровно $60^\circ$. Угол между диагоналями двух смежных граней куба действительно равен 60 градусам независимо от длины ребра.

Частые ошибки

• Переносят вектор так, что меняют его направление в пространстве, а не только точку приложения.
• Подставляют в формулу косинуса длину ребра куба вместо настоящей длины вектора-диагонали.
• Забывают, что угол между любыми двумя векторами лежит в пределах от 0 до 180 градусов, и не проверяют знак косинуса.

Коротко

Чтобы понять, как найти угол между векторами в кубе, векторы записывают через координаты вершин и применяют формулу косинуса угла между ними. Метод одинаково хорошо работает для рёбер, диагоналей граней и главной диагонали куба.