Как найти угол между двумя векторами

Чтобы понять, как найти угол между двумя векторами, вычисляют их скалярное произведение и делят его на произведение длин векторов — так получают косинус угла: $\cos\alpha = \frac{(a,b)}{|a|\cdot|b|}$.

Затем через арккосинус находят сам угол в градусах или радианах. Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а угол между ними равен ровно девяносто градусов независимо от их длины. Такой способ работает как для векторов на плоскости, так и в пространстве.

$\cos\alpha = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{|a|\cdot|b|}$

Разбор по случаям

Примеры

Векторы (1;0) и (1;1). Даны векторы $a(1; 0)$ и $b(1; 1)$.

Скалярное произведение: $a \cdot b = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1$.

Длины векторов: $|a| = 1$, $|b| = \sqrt{2}$.

Косинус угла: $\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$.

Значит, угол между этими векторами равен $\alpha = 45^\circ$ — узнаваемое табличное значение косинуса. Такой результат легко запомнить, поскольку значение косинуса сорок пять градусов входит в таблицу основных углов, которую изучают в геометрии на уроках тригонометрии в школе. Проверить ответ можно по таблице значений тригонометрических функций.

Векторы (3;4) и (-4;3). Даны векторы $a(3; 4)$ и $b(-4; 3)$.

Скалярное произведение: $a \cdot b = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, длины векторов уже можно не считать для определения угла. Косинус угла равен нулю: $\cos\alpha = 0$, значит сам угол между векторами составляет $\alpha = 90^\circ$. Такие векторы называют перпендикулярными или ортогональными, и это часто проверяют именно через равенство скалярного произведения нулю.

Частые ошибки

• Путают скалярное произведение с произведением длин векторов и делят не на то число.
• Забывают взять арккосинус и оставляют в ответе значение косинуса угла вместо самого угла.
• Считают длину вектора без корня, складывая квадраты координат вместо извлечения корня из суммы.

Коротко

Итог: как найти угол между двумя векторами — разделить их скалярное произведение на произведение длин и найти арккосинус результата. Если это отношение равно нулю, векторы расположены под прямым углом друг к другу.