Как найти общую длину двух векторов

Чтобы понять, как найти общую длину двух векторов, нужно применить теорему косинусов к параллелограмму, который эти векторы образуют.

Если известны модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$, а также угол $\varphi$ между ними, длину их суммы вычисляют по формуле $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\varphi}$.

Если векторы перпендикулярны, косинус угла равен нулю, и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора для двух катетов прямоугольного треугольника.

Разбор по случаям

Примеры

векторы под углом 60°. Даны векторы с модулями $a = 3$ и $b = 4$, отложенные от одной точки под углом $\varphi = 60^\circ$ друг к другу, причём $\cos 60^\circ = 0{,}5$.

По теореме косинусов подставляют известные значения: $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3^2+4^2+2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 0{,}5} = \sqrt{9+16+12} = \sqrt{37} \approx 6{,}08$.

Значит общая длина этих двух векторов приблизительно равна шести целым восьми сотым единицы, а точное значение можно оставить под знаком корня. Проверка правдоподобия: сумма длин $3+4=7$ задаёт верхнюю границу, а разность $4-3=1$ — нижнюю, и результат $6{,}08$ лежит между ними.

перпендикулярные векторы. Даны перпендикулярные векторы с модулями $a = 6$ и $b = 8$, приложенные к одной точке так, что угол между ними равен $90^\circ$.

Так как $\cos 90^\circ = 0$, формула заметно упрощается до теоремы Пифагора: $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

Значит длина суммы этих двух перпендикулярных векторов равна ровно десяти единицам, а числа 6, 8 и 10 образуют знакомую пифагорову тройку. Проверка: $6^2+8^2=36+64=100$, а $10^2=100$ — числа совпадают, вычисление верно.

Частые ошибки

• Складывают модули векторов напрямую как числа, забывая учесть угол между ними.
• Путают знак перед удвоенным произведением и вычитают его вместо прибавления при остром угле.
• Подставляют в формулу градусы угла вместо значения его косинуса и получают неверный результат.

Коротко

Общую длину суммы двух векторов находят по теореме косинусов, а для перпендикулярных или сонаправленных векторов формула заметно упрощается. Как найти общую длину двух векторов быстрее всего — подставить модули векторов и косинус угла между ними в формулу теоремы косинусов.