Как найти длину суммы двух векторов

Как найти длину суммы двух векторов: если известны координаты, векторы сначала складывают покоординатно, а затем находят длину полученного вектора по теореме Пифагора. Если известны длины исходных векторов и угол между ними, длину суммы находят по формуле, похожей на теорему косинусов для диагонали параллелограмма. Когда векторы перпендикулярны друг другу, эта формула упрощается до обычной теоремы Пифагора для катетов, а при нулевом угле длины просто складывают.

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta}$

Разбор по случаям

Примеры

По координатам. Векторы имеют координаты $\vec{a} = (3; 0)$ и $\vec{b} = (0; 4)$. Их сумма: $\vec{c} = (3; 4)$.

Длина суммы: $|\vec{c}| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Результат совпал с известным набором чисел три, четыре, пять, который образует стороны прямоугольного треугольника, и это удобно для проверки ответа.

По длинам и углу. Длины векторов равны $|\vec{a}| = 3$ см и $|\vec{b}| = 4$ см, угол между ними $60°$.

Длина суммы: $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3^2+4^2+2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 60°} = \sqrt{9+16+12} = \sqrt{37} \approx 6{,}08$ см.

Такой результат меньше суммы длин исходных векторов, взятых по отдельности, но больше их разности.

Частые ошибки

• Складывают длины векторов напрямую, полностью забывая учесть угол между ними в формуле.
• Путают косинус угла с синусом в формуле и получают неверный числовой ответ в конце решения.
• Забывают, что при угле в девяносто градусов формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Коротко

Как найти длину суммы двух векторов, показывают две связанные формулы: через координаты или через длины и угол между исходными векторами. Особые случаи, перпендикулярные и сонаправленные векторы, считают по заметно более простым частным формулам.