Как найти отношение длин отрезков

Как найти отношение длин отрезков: если длины уже известны, отношение записывают как дробь и сокращают до простейшего вида. Если точка делит отрезок между двумя известными координатами, отношение находят через разности координат до точки и после неё. Когда прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны, отрезки на этих сторонах пропорциональны по теореме Фалеса. Если сторону треугольника делит биссектриса угла, отношение отрезков равно отношению прилежащих к ним сторон треугольника.

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Разбор по случаям

Примеры

Биссектриса угла треугольника. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 8\text{ см}$ и $AC = 12\text{ см}$, а биссектриса из вершины $A$ делит сторону $BC = 15\text{ см}$ на отрезки $BD$ и $DC$.

По свойству биссектрисы: $BD/DC = AB/AC = 8/12 = 2/3$.

Весь отрезок $BC$ делят на $2+3 = 5$ частей: $BD = (2/5)\cdot15 = 6\text{ см}$, а $DC = (3/5)\cdot15 = 9\text{ см}$.

Проверка: $6+9 = 15\text{ см}$ совпадает с длиной стороны $BC$. Отрезок, прилежащий к большей стороне $AC$, всегда получается длиннее отрезка у меньшей стороны $AB$.

Параллельная сторона треугольника. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ параллелен стороне $BC$, где $M$ лежит на $AB$, а $N$ — на $AC$. Известно, что $AM = 6\text{ см}$, $MB = 4\text{ см}$, значит $AM/MB = 6/4 = 3/2$. По теореме Фалеса $AN/NC$ равно тому же отношению $3/2$.

Если сторона $AC = 15\text{ см}$, то её делят на $3+2 = 5$ частей: $AN = (3/5)\cdot15 = 9\text{ см}$, а $NC = (2/5)\cdot15 = 6\text{ см}$.

Отношение сохраняется независимо от того, какую сторону треугольника пересекает параллельная прямая.

Частые ошибки

• Составляют отношение отрезков в обратном порядке и путают, какой отрезок должен быть в числителе.
• Забывают, что сумма долей числителя и знаменателя даёт общее число равных частей отрезка.
• Применяют теорему Фалеса к прямой, которая не параллельна нужной стороне треугольника.

Коротко

Как найти отношение длин отрезков — через готовые числа, координаты точки деления, теорему Фалеса о параллельных прямых или свойство биссектрисы угла треугольника. Для биссектрисы при сторонах 8 и 12 см отношение BD к DC равно 2 к 3, а для параллельной прямой при отрезках 6 и 4 см — 3 к 2.