Как найти квадрат длины вектора AB

Чтобы понять, как найти квадрат длины вектора AB, координаты вектора сначала получают вычитанием координат начала из координат конца: $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Затем квадрат длины находят как сумму квадратов этих координат: $|AB|^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

Корень из этой суммы извлекать не нужно, поскольку в задаче требуется именно квадрат, а не сама длина вектора, ведь эти два понятия в геометрии различают и не путают друг с другом.

$|AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Разбор по случаям

Примеры

по точкам на плоскости. Даны точки $A(1; 1)$ и $B(4; 5)$.

Сначала находят координаты вектора как разность координат конца и начала: $\overrightarrow{AB} = (4-1; 5-1) = (3; 4)$.

Квадрат длины вектора вычисляют как сумму квадратов его координат: $|AB|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Значит квадрат длины вектора AB равен двадцати пяти, а саму длину при необходимости находят как $\sqrt{25} = 5$, что совпадает с теоремой Пифагора для катетов три и четыре.

по координатам вектора. Дан вектор $\overrightarrow{AB} = (-3; 4)$, заданный сразу своими координатами.

Квадрат длины находят как сумму квадратов координат: $|AB|^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Знак минус у координаты не влияет на результат, поскольку число возводится в квадрат. Значит квадрат длины вектора AB равен двадцати пяти, а длина вектора — пяти единицам, что совпадает с результатом первого примера при разных знаках координат.

Частые ошибки

• Путают квадрат длины вектора с самой длиной и забывают взять квадратный корень там, где он нужен.
• При вычитании координат путают порядок и находят вектор BA вместо AB.
• Забывают возвести в квадрат отрицательную координату и теряют знак минус в сумме квадратов.

Коротко

Квадрат длины вектора всегда равен сумме квадратов его координат, независимо от того, заданы точки или сами координаты вектора. Как найти квадрат длины вектора AB, если известны точки, — сначала находят координаты вектора, а затем возводят их в квадрат и складывают.