Как находить среднюю линию треугольника

Чтобы понять, как находить среднюю линию треугольника, нужно вспомнить, что она соединяет середины двух сторон и равна половине третьей стороны, которой параллельна. Если сторона треугольника равна 14 см, средняя линия, соединяющая середины двух других сторон, равна 14, делённым на 2, то есть 7 см. Если известны все три стороны треугольника, все три средние линии образуют новый, подобный исходному треугольник с вдвое меньшими сторонами и вдвое меньшим периметром.

$MN = \frac{1}{2} BC$

Разбор по случаям

Примеры

Стороны треугольника 10, 12 и 16 см. В треугольнике стороны равны $a=10$ см, $b=12$ см и $c=16$ см, и по условию задачи нужно найти длины всех трёх средних линий этой фигуры. Каждая средняя линия равна половине той стороны, которой она параллельна: $a'=5$, $b'=6$ и $c'=8$ см. Периметр треугольника из средних линий: $P' = 5+6+8 = 19$ см, что равно ровно половине периметра исходного треугольника, равного $38$ см.

Сторона BC равна 14 см. В треугольнике $ABC$ известна только сторона $BC = 14$ см, а точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, длины которых в условии не даны.

Средняя линия $MN$ параллельна стороне $BC$ и равна её половине по теореме о средней линии: $MN = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

Значит, средняя линия этого треугольника равна семи сантиметрам, независимо от длин двух других сторон.

Частые ошибки

• Путают, какую сторону делит пополам средняя линия, и вычисляют половину не той стороны треугольника.
• Забывают, что средняя линия параллельна именно той стороне, середины которой она не соединяет.
• Считают периметр треугольника из средних линий равным периметру исходного, а не его половине.

Коротко

Чтобы понять, как находить среднюю линию треугольника, достаточно найти половину той стороны, которой она параллельна и которую сама не пересекает. Периметр треугольника, образованного тремя средними линиями, всегда равен половине периметра исходного треугольника, а сам он подобен исходному.