Как найти длину большей дуги окружности

Чтобы понять, как найти длину большей дуги окружности, сначала находят её центральный угол: из 360° вычитают угол меньшей дуги. Затем длину дуги считают по формуле L = 2πr × (n / 360°), где n — угол именно большей дуги, а r — радиус окружности. Если в условии дан диаметр, его сначала делят пополам, получая радиус, а дальше действуют так же.

$L = 2\pi r \cdot \frac{n}{360^\circ}$

Разбор по случаям

Примеры

радиус 6 см, угол 90°. Радиус окружности $r = 6 \text{ см}$, хорда делит окружность на две дуги, центральный угол меньшей из них равен $90°$. Угол большей дуги: $360° - 90° = 270°$.

Длина большей дуги: $L = 2\pi r \cdot \frac{270}{360} \approx 2 \times 3{,}14 \times 6 \times 0{,}75 \approx 28{,}26 \text{ см}$.

Меньшая дуга при этом получилась бы намного короче — всего около 9,42 сантиметра, и обе дуги в сумме дают полную длину окружности.

диаметр 20 см, угол 60°. Диаметр окружности $d = 20 \text{ см}$, значит радиус $r = 10 \text{ см}$. Центральный угол меньшей дуги равен $60°$, тогда угол большей дуги: $360° - 60° = 300°$.

Длина большей дуги: $L = 2\pi r \cdot \frac{300}{360} \approx 2 \times 3{,}14 \times 10 \times 0{,}8333 \approx 52{,}33 \text{ см}$, что заметно больше длины меньшей дуги той же окружности, ведь угол у неё ровно в пять раз больше — 300° против 60° у меньшей дуги.

Частые ошибки

• Считают длину дуги для меньшего угла вместо большего, забыв вычесть его из 360°.
• Путают длину дуги с длиной хорды, которая эту дугу стягивает между двумя точками.
• Забывают перевести градусы в долю от полной окружности перед подстановкой в формулу.

Коротко

Длина большей дуги окружности всегда считается через её собственный центральный угол, а не угол меньшей дуги. Как найти длину большей дуги окружности проще всего: вычесть угол меньшей дуги из 360° и подставить результат в формулу длины дуги.