Как найти длину дуги, зная радиус

Как найти длину дуги, зная радиус, — умножить радиус на центральный угол в радианах: l = r·φ. Если угол дан в градусах, используют формулу l = (π·r·n)/180, где n — градусная мера угла, без отдельного перевода в радианы. Длина дуги окружности всегда пропорциональна и радиусу, и величине угла: чем больше радиус или угол, тем длиннее сама дуга. Эта закономерность одинаково работает и для маленькой окружности, и для очень большой, если известен именно радиус, а не диаметр.

$l = r\varphi$

Разбор по случаям

Примеры

Угол в градусах. Радиус окружности равен 9 см, центральный угол дуги равен 60 градусам.

Подставляем известные значения в формулу с числом π: подставим $l = \frac{\pi r n}{180} = \frac{3{,}14\times9\times60}{180} = \frac{1695{,}6}{180} = 9{,}42$.

Длина дуги окружности равна $9{,}42\text{ см}$, число π округлено до 3,14, как принято в школьных задачах. Такая дуга занимает ровно шестую часть всей окружности этого радиуса.

Угол в радианах. Радиус окружности равен 6 см, центральный угол дуги равен 2 радианам.

Подставляем значения в формулу напрямую: подставим $l = r\varphi = 6\times2 = 12$.

Длина дуги окружности равна $12\text{ см}$. Радианная мера угла умножается на радиус без дополнительных переводов и коэффициентов, поэтому вычисление здесь получается короче, чем при работе с градусами. Такая дуга заметно короче половины окружности этого же радиуса.

Частые ошибки

• Подставляют угол в градусах прямо в формулу для радианной меры без перевода коэффициентом π/180.
• Путают длину дуги с площадью кругового сектора и по невнимательности берут не ту формулу из учебника.
• Округляют число π слишком рано, ещё до начала вычислений, и получают в итоге неточный ответ.

Коротко

Как найти длину дуги, зная радиус, показывают две равнозначные формулы — через радианную меру угла или через градусы с числом π. Обе формулы дают одинаковый результат, если верно перевести угол из одной меры в другую перед вычислением.