Как найти длину биссектрисы

Как найти длину биссектрисы: если известны две стороны треугольника и угол между ними, используют формулу с косинусом половины этого угла. Если известны все три стороны, применяют формулу через них, без угла между сторонами вообще. Для равностороннего треугольника биссектриса, медиана и высота совпадают, а для прямоугольного треугольника с биссектрисой прямого угла есть отдельная короткая формула через катеты.

$l = \dfrac{2ab\cos(\gamma/2)}{a+b}$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольный треугольник. Катеты равны $a = 3\text{ см}$ и $b = 6\text{ см}$, биссектриса делит пополам прямой угол между ними.

Подставляем в формулу: $l = \dfrac{3 \cdot 6 \cdot \sqrt{2}}{3+6} = \dfrac{18\sqrt{2}}{9} = 2\sqrt{2}\text{ см}$.

Численно это примерно $2{,}83\text{ см}$, и биссектриса делит противоположную сторону не пополам, а в отношении катетов $3:6$, то есть $1:2$.

Равносторонний треугольник. Треугольник равносторонний, сторона равна $a = 8\text{ см}$.

Биссектриса каждого угла совпадает с медианой и высотой, поэтому применяем формулу: $l = \dfrac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ см}$.

Численно это примерно $6{,}93\text{ см}$, и в этом случае она действительно делит противоположную сторону строго пополам, на два отрезка по $4\text{ см}$.

Частые ошибки

• Путают биссектрису с высотой и медианой именно в разностороннем треугольнике, где все эти три отрезка вообще не совпадают между собой.
• Забывают, что в формуле через две стороны сам угол нужно сначала делить пополам перед вычислением косинуса.
• Подставляют в формулу через три стороны длину совсем не той стороны, к которой на самом деле проведена данная биссектриса треугольника.

Коротко

Как найти длину биссектрисы — выбор формулы зависит от того, что именно дано: две стороны с углом, три стороны или особый вид треугольника вроде равностороннего или прямоугольного. Результат получают прямой подстановкой известных величин в подходящую формулу.