Как найти длину биссектрисы треугольника

Чтобы понять, как найти длину биссектрисы треугольника, используют формулу через теорему Стюарта или через угол между сторонами. Если известны все три стороны треугольника a, b и c, биссектриса, проведённая к стороне a, находится по формуле l² = bc[1 − (a/(b+c))²]. Если вместо сторон известен угол при вершине и прилежащие к нему стороны, применяют формулу l = 2bc·cos(α/2) / (b + c).

$l_a^2 = bc\left[1 - \left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right]$

Разбор по случаям

Примеры

Равносторонний треугольник, сторона 10 см. На уроке геометрии дан равносторонний треугольник со стороной $a = 10\text{ см}$, и нужно найти биссектрису, проведённую из любой вершины.

В таком треугольнике биссектриса, высота и медиана из одной вершины совпадают: $l = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\text{ см}$.

Результат одинаков для всех трёх вершин фигуры, потому что все стороны треугольника равны между собой, а сама фигура симметрична.

Стороны 5, 6 и 7 см. В контрольной задаче по геометрии разносторонний треугольник задан тремя сторонами: $a = 5\text{ см}$ — сторона, к которой проведена биссектриса, $b = 6\text{ см}$, $c = 7\text{ см}$, а угол при вершине неизвестен и транспортиром не измерен.

По теореме Стюарта: $l^2 = bc\left[1-\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\right] = 42\left(1-\dfrac{25}{169}\right) = 42 \times \dfrac{144}{169} \approx 35{,}79$.

Тогда $l \approx \sqrt{35{,}79} \approx 5{,}98\text{ см}$, что и есть искомая длина этого внутреннего отрезка треугольника с разными сторонами.

Частые ошибки

• Длина биссектрисы получается неверной, если её путают с длиной медианы и складывают половины сторон.
• Путают, к какой стороне и от какой вершины проведена биссектриса, и подставляют в формулу не те стороны.
• Забывают, что в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана — это один и тот же отрезок.

Коротко

Длина биссектрисы треугольника находится через теорему Стюарта или через угол при вершине и прилежащие стороны. Так отвечают на вопрос, как найти длину биссектрисы треугольника, когда транспортир и линейка не помогают напрямую.