Как найти угол в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора

Чтобы понять, как найти угол в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора, сначала находят недостающую сторону: $c^2 = a^2 + b^2$. Сама теорема угла не даёт — она только связывает длины сторон. Дальше угол находят через тригонометрическую функцию: $\tan\alpha = \frac{a}{b}$ или $\sin\alpha = \frac{a}{c}$, а затем берут обратную функцию — арктангенс или арксинус — и получают значение угла в градусах, которое затем округляют до целого числа при необходимости в школьной задаче.

Разбор по случаям

Примеры

по двум катетам. Катеты треугольника $a = 3\text{ см}$ и $b = 4\text{ см}$.

Прежде чем искать угол, теоремой Пифагора при необходимости проверяют гипотенузу: $c = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5\text{ см}$.

Угол напротив катета a находят через тангенс: $\tan\alpha = \frac{3}{4} = 0{,}75$, откуда $\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 37°$.

Значит угол в этом прямоугольном треугольнике приблизительно равен тридцати семи градусам, а второй острый угол дополняет его до девяноста градусов по правилу суммы острых углов.

по катету и гипотенузе. Гипотенуза $c = 13\text{ см}$, катет $a = 5\text{ см}$.

Сначала по теореме Пифагора находят второй катет, которого не хватает для дальнейших вычислений: $b = \sqrt{c^2-a^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$.

Угол напротив катета a находят через синус, поскольку известны катет и гипотенуза: $\sin\alpha = \frac{5}{13} \approx 0{,}385$, откуда $\alpha = \arcsin(0{,}385) \approx 22{,}6°$.

Значит искомый угол приблизительно равен двадцати двум целым шести десятым градуса, а второй острый угол находят вычитанием из девяноста градусов.

Частые ошибки

• Считают, что теорема Пифагора сама даёт угол, хотя она находит только сторону, а угол — через тригонометрию.
• Путают, какой катет лежит напротив искомого угла, и получают перевёрнутое отношение в тангенсе.
• Забывают перевести значение арктангенса или арксинуса из радианов в градусы на калькуляторе.

Коротко

Теорема Пифагора сама по себе угла не даёт — она находит третью сторону треугольника по двум известным. Как найти угол в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора и тригонометрии вместе: сначала находят сторону, а затем берут арксинус, арккосинус или арктангенс отношения сторон.