Как найти тригонометрические функции угла в прямоугольном треугольнике

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике определяют через отношения его сторон: синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс — противолежащего катета к прилежащему. Сначала находят все стороны треугольника, если известны не все, а затем подставляют их в нужное отношение. Как найти тригонометрические функции угла в прямоугольном треугольнике проще всего — определить, какой катет противолежит, а какой прилежит углу.

$\sin\alpha = \frac{a}{c},\ \cos\alpha = \frac{b}{c},\ \tan\alpha = \frac{a}{b}$

Разбор по случаям

Примеры

Известны оба катета. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 4 см, требуется найти все тригонометрические функции острого угла α, который лежит напротив катета длиной 3 см.

Сначала находим гипотенузу по теореме Пифагора: подставим $c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Теперь по определениям находим сами функции угла: $\sin\alpha=\frac{3}{5}=0{,}6$, $\cos\alpha=\frac{4}{5}=0{,}8$ и $\tan\alpha=\frac{3}{4}=0{,}75$.

Все три значения меньше единицы, как и должно быть у острого угла.

Известны катет и гипотенуза. В прямоугольном треугольнике один катет равен 5 см, а гипотенуза равна 13 см, требуется найти функции угла β, противолежащего этому катету.

Сначала находим второй катет по теореме Пифагора: подставим $b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

Теперь находим функции: $\sin\beta=\frac{5}{13}$, $\cos\beta=\frac{12}{13}$, $\tan\beta=\frac{5}{12}$. Эта тройка чисел 5, 12 и 13 — известное пифагорово число, которое часто встречается в задачах.

Частые ошибки

• Путают, какой катет противолежащий, а какой прилежащий к рассматриваемому углу.
• Забывают, что синус и косинус всегда меньше единицы, и допускают деление в обратную сторону.
• При нахождении второго катета через теорему Пифагора складывают катеты вместо вычитания квадрата известного катета из квадрата гипотенузы.

Коротко

Как найти тригонометрические функции угла в прямоугольном треугольнике, определяют отношения сторон: синус, косинус и тангенс всегда выражаются через катеты и гипотенузу. Если какой-то стороны не хватает, её сначала находят через теорему Пифагора или через уже известную функцию угла.