Как найти длину образующей конуса

Как найти длину образующей конуса: радиус основания и высота вместе образуют прямоугольный треугольник, а образующая служит его гипотенузой — её находят по теореме Пифагора. Если дан диаметр вместо радиуса, сначала делят его пополам, а затем действуют точно так же. Если известны боковая поверхность конуса и радиус, образующую находят делением боковой поверхности на произведение числа пи и радиуса основания конуса.

$l = \sqrt{r^2+h^2}$

Разбор по случаям

Примеры

По радиусу и высоте. Радиус основания конуса равен $r = 3\text{ см}$, а высота самого конуса равна $h = 4\text{ см}$, оба числа даны в условии школьной задачи напрямую, без построений. Радиус, высота и образующая всегда образуют прямоугольный треугольник внутри конуса.

Образующая находится по теореме Пифагора как гипотенуза этого треугольника: $l = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ (см).

Эти числа образуют хорошо известную тройку три-четыре-пять.

По боковой поверхности. Боковая поверхность конуса равна $S_{bok} = 50\pi\text{ см}^2$, а радиус основания равен $r = 5\text{ см}$, эти два значения даны в условии школьной задачи напрямую, а высота конуса здесь вообще не нужна для решения.

Образующую находят из известной формулы $S_{bok} = \pi r l$, выразив из неё саму образующую: $l = S_{bok}/(\pi r) = 50\pi/(5\pi) = 10$ (см).

Число пи при таком делении полностью сокращается без остатка.

Частые ошибки

• Путают радиус с диаметром основания и подставляют в формулу удвоенное или заниженное числовое значение.
• Забывают, что образующая — это именно гипотенуза, и складывают радиус с высотой напрямую без корня.
• При работе с боковой поверхностью делят её не на радиус, а на диаметр или полную высоту конуса.

Коротко

Как найти длину образующей конуса — вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника из радиуса основания и высоты по теореме Пифагора. Через боковую поверхность и радиус её находят делением площади на произведение числа пи и радиуса основания.