Как найти длину вектора через координаты

Как найти длину вектора через координаты: возводят в квадрат каждую координату вектора, складывают полученные квадраты и извлекают из суммы квадратный корень — на плоскости берут две координаты x и y, а в пространстве добавляют третью координату z. Если вектор задан не готовыми координатами, а точками начала и конца, сначала находят его координаты как разность соответствующих координат конца и начала, а затем применяют ту же формулу длины.

$|\vec a| = \sqrt{x^2+y^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Вектор по координатам. Вектор задан координатами $\vec a = (3; 4)$ на плоскости, то есть смещением на 3 единицы вдоль оси x и на 4 единицы вдоль оси y. Возводят каждую координату в квадрат и складывают результаты: $3^2+4^2 = 9+16 = 25$. Извлекают квадратный корень из полученной суммы: $|\vec a| = \sqrt{25} = 5$. Числа 3, 4 и 5 образуют известную пифагорову тройку, поэтому результат легко проверить без калькулятора.

Вектор по двум точкам. Вектор задан не готовыми координатами, а точками начала и конца: $A(1; 2)$ и $B(6; 14)$.

Координаты самого вектора находят как разность соответствующих координат конца и начала: $\vec{AB} = (6-1;\, 14-2) = (5; 12)$.

Дальше просто применяют ту же формулу длины: $|\vec{AB}| = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.

Порядок вычитания важен только для знака координат, а не для итоговой длины вектора.

Частые ошибки

• Забывают возвести координаты в квадрат перед сложением и просто складывают сами числа координат.
• При вычислении вектора по двум точкам вычитают координаты начала из конца в неверном порядке.
• Извлекают квадратный корень из каждой координаты отдельно вместо извлечения корня из суммы квадратов.

Коротко

Как найти длину вектора через координаты — сложить квадраты координат и извлечь из полученной суммы квадратный корень, добавив третью координату для пространства. Для вектора (3; 4) длина равна 5, а для вектора между точками (1; 2) и (6; 14) — 13.