Как найти длину вектора на координатной плоскости

Как найти длину вектора на координатной плоскости — подставить его координаты в формулу через теорему Пифагора, знакомую из курса геометрии.

Если вектор задан координатами $(x; y)$ от начала отсчёта: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Если вектор задан двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$: $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Координаты точек сначала вычитают, а уже потом возводят в квадрат. Этот способ работает для любого вектора на плоскости, независимо от того, где именно он расположен.

Разбор по случаям

Примеры

Вектор из начала координат. Вектор задан координатами $(3; 4)$.

Длина: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Это классическая пара чисел, которая сразу даёт целый результат благодаря теореме Пифагора, знакомой из курса геометрии, а не приближённое значение с корнем. Такие тройки чисел часто специально подбирают в учебных задачах, чтобы вычисление получалось без десятичных дробей.

Вектор по двум точкам. Точки $A(0; 0)$ и $B(6; 8)$. Координаты вектора: $x_2-x_1=6$, $y_2-y_1=8$.

Длина: $|\vec{AB}| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

Если поменять точки местами, длина вектора $\vec{BA}$ останется такой же, ведь направление на длину отрезка не влияет. Такой же способ применяют для нахождения расстояния между любыми двумя точками на координатной плоскости.

Частые ошибки

• Вычитают координаты точек в обратном порядке и путают направление вектора с его фактической длиной.
• Забывают возвести разности координат в квадрат перед их сложением под общим корнем выражения.
• Складывают координаты точек вместо вычитания разности при векторе, заданном двумя точками на плоскости.

Коротко

Как найти длину вектора на координатной плоскости, всегда сводится к теореме Пифагора: координаты возводят в квадрат, складывают и извлекают корень. Формула одинакова и для вектора из начала координат, и для вектора между двумя произвольными точками, независимо от их расположения на плоскости.