Как найти координаты вектора на плоскости

Как найти координаты вектора на плоскости: из координат конца вектора вычесть координаты его начала — отдельно по оси x и отдельно по оси y. Если вектор — сумма двух других векторов, их координаты просто складывают по осям. Когда вектор разложен по базисным векторам с коэффициентами, эти коэффициенты и есть искомые координаты. Если известны длина вектора и угол наклона, координаты находят через косинус и синус этого угла.

$\vec{AB} = (x_2-x_1;\ y_2-y_1)$

Разбор по случаям

Примеры

Вектор задан двумя точками. Пусть начало вектора в точке $A(2;3)$, а конец — в точке $B(5;7)$.

Координаты вектора находим вычитанием: $\vec{AB} = (5-2;\ 7-3) = (3;4)$.

Первая координата равна разности абсцисс точек, вторая — разности ординат.

Длину этого вектора при желании можно проверить по теореме Пифагора: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.

Такой способ работает для любых двух точек плоскости и не требует знания длины или угла наклона вектора заранее.

Известны длина и угол наклона вектора. Пусть длина вектора $|\vec{v}| = 10$ см, а угол наклона к оси абсцисс $\alpha = 30°$.

Координаты находим через косинус и синус угла: $\vec{v} = (10\cos30°;\ 10\sin30°) = \left(10 \cdot \frac{\sqrt3}{2};\ 10 \cdot \frac{1}{2}\right) = (5\sqrt3;\ 5) \approx (8{,}66;\ 5)$.

Такая запись удобна, когда вектор задан не точками начала и конца, а модулем и направлением на чертеже. Первая координата всегда связана с косинусом угла, а вторая — с синусом того же угла, отсчитанного от положительного направления оси абсцисс.

Частые ошибки

• Вычитают координаты в обратном порядке — из начала вычитают конец — и получают вектор с противоположным направлением.
• Путают координаты вектора с координатами середины отрезка и делят разность пополам вместо вычитания.
• При разложении по длине и углу путают синус с косинусом и меняют местами координаты x и y.

Коротко

Как найти координаты вектора на плоскости — вычесть из координат конца координаты начала по каждой оси отдельно. Координаты вектора на плоскости можно получить сложением координат слагаемых векторов или через длину вектора и угол его наклона к оси абсцисс.