Как найти координаты вектора на координатной плоскости

Координаты вектора равны разности координат его конца и начала: $\vec{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$.

Отвечая на вопрос, как найти координаты вектора на координатной плоскости, из координат точки конца всегда вычитают координаты точки начала, а не наоборот. Если вектор выходит из начала координат, его координаты совпадают с координатами конечной точки, а для суммы нескольких векторов координаты складывают отдельно по каждой оси.

Разбор по случаям

Примеры

Вектор по двум точкам. Даны точки $A(2;\,3)$ и $B(5;\,-1)$, нужно найти вектор $\vec{AB}$. Из координат точки $B$ вычитают координаты точки $A$ по каждой оси: $x = 5 - 2 = 3$, $y = -1 - 3 = -4$. Значит, $\vec{AB} = (3;\,-4)$. Если перепутать порядок и вычесть наоборот, получится вектор $\vec{BA} = (-3;\,4)$ — он противоположен по направлению, хотя равен по длине. Поэтому важно чётко понимать, какая точка в задаче названа началом, а какая — концом отрезка.

Сумма двух векторов. Вектор $\vec{a} = (1;\,4)$ и вектор $\vec{b} = (-3;\,2)$: нужно найти сумму $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.

Складывают координаты по осям отдельно: $x = 1 + (-3) = -2$, $y = 4 + 2 = 6$. Получаем $\vec{c} = (-2;\,6)$. Такой приём работает для любого числа слагаемых векторов, а не только для двух: при разности векторов координаты второго вычитают из координат первого по тому же правилу, ось за осью.

Частые ошибки

• Путают порядок точек: вычитают начало из конца в обратную сторону и получают неверный знак.
• Складывают координаты точек вместо вычитания, когда вектор задан двумя точками на плоскости.
• Ищут их через середину отрезка, забывая, что они не зависят от положения вектора на плоскости.

Коротко

Чтобы понять, как найти координаты вектора на координатной плоскости, координаты начала вычитают из координат конца по обеим осям отдельно. Для вектора из начала координат и для суммы векторов действуют свои упрощённые правила, но в основе всегда лежит вычитание координат.