Как найти длину высоты равнобедренной трапеции

Вопрос «Как найти длину высоты равнобедренной трапеции» решают через прямоугольный треугольник, который образует высота: h = √(c² − ((a−b)/2)²), где c — боковая сторона, a и b — основания. Половина разности оснований — это проекция боковой стороны на большее основание. Если вместо оснований известен угол при основании, высоту находят через синус: h = c·sin α. Оба способа опираются на симметрию равнобедренной трапеции.

$h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

через боковую сторону и основания. Боковая сторона $c = 5$ см, большее основание $a = 10$ см, меньшее основание $b = 4$ см. Половина разности оснований равна $\frac{10-4}{2} = 3$ см.

Высоту равнобедренной трапеции находят по теореме Пифагора: $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Числа 3, 4 и 5 снова образуют знакомую пифагорову тройку, поэтому корень извлекается без остатка.

Площадь такой трапеции равна $\frac{(10+4)}{2}\cdot4 = 28$ см², и высота входит в эту формулу напрямую.

через угол при основании. Боковая сторона $c = 6$ см, угол при основании $\alpha = 30°$.

Высоту находят через синус угла: $h = c\sin\alpha = 6 \cdot 0{,}5 = 3$ см, ведь синус 30° равен ровно одной второй.

Такой способ короче, чем через основания, если угол уже дан в условии задачи и считать разность оснований не нужно. Проекция боковой стороны на основание при этом равна $6\cos30° \approx 5{,}2$ см.

Частые ошибки

• Берут половину боковой стороны вместо половины разности оснований при построении прямоугольного треугольника.
• Путают синус и косинус угла при основании и получают вместо высоты проекцию боковой стороны.
• Забывают, что высота равнобедренной трапеции опускается внутрь фигуры, а не за пределы меньшего основания.

Коротко

Вопрос «Как найти длину высоты равнобедренной трапеции» решается через прямоугольный треугольник с боковой стороной в роли гипотенузы и полуразностью оснований в роли катета. Если вместо оснований известен угол при основании, высоту находят короче — через синус этого угла.