Как найти хорду, на которую опирается угол

Чтобы понять, как найти хорду, на которую опирается угол, используют радиус окружности и величину самого угла. Если угол вписанный, хорду вычисляют по формуле $AB = 2R\sin\alpha$, где R — радиус, а α — вписанный угол.

Если известен центральный угол β на ту же хорду, в формулу подставляют его половину: $AB = 2R\sin\frac{\beta}{2}$.

Прямой вписанный угол означает, что хорда является диаметром окружности, а значит равна удвоенному радиусу.

Разбор по случаям

Примеры

по вписанному углу. Радиус окружности $R = 5\text{ см}$, вписанный угол по условию задачи $\alpha = 30°$.

Хорду находят по формуле: $AB = 2R\sin\alpha = 2\cdot5\cdot\sin30° = 10\cdot0{,}5 = 5\text{ см}$.

Синус тридцати градусов равен одной второй, поэтому вычисление получается простым. Значит хорда, на которую опирается вписанный угол в тридцать градусов при радиусе пять сантиметров, равна пяти сантиметрам, что ровно вдвое меньше диаметра этой окружности.

хорда-диаметр. Радиус окружности $R = 6\text{ см}$, вписанный угол $\alpha = 90°$.

Раз угол прямой, хорда, на которую он опирается, — это диаметр окружности: $AB = 2R = 2\cdot6 = 12\text{ см}$.

Проверка по общей формуле: $AB = 2R\sin90° = 12\cdot1 = 12\text{ см}$, синус девяноста градусов равен единице.

Значит хорда равна двенадцати сантиметрам и совпадает с диаметром окружности в этом частном случае, что подтверждает правило о прямом вписанном угле.

Частые ошибки

• Путают формулу хорды с формулой длины дуги и получают результат в радианах вместо сантиметров у длины отрезка.
• Забывают, что для центрального угла в формуле берут его половину, а не сам угол целиком.
• Подставляют диаметр вместо радиуса в формулу $AB = 2R\sin\alpha$ и получают удвоенный результат.

Коротко

Хорда, на которую опирается угол, всегда находится через синус этого угла и радиус окружности. Как найти хорду, на которую опирается угол, зависит от того, вписанный он или центральный — во втором случае в формулу подставляют половину угла.