Как найти коэффициент разложения вектора

Чтобы понять, как найти коэффициент разложения вектора $\vec{c}$ по базису из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, записывают равенство $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ через координаты каждого из трёх векторов.

Из этого равенства получают систему двух линейных уравнений с неизвестными $x$ и $y$, которую решают способом подстановки, сложения или методом Крамера. Если базис совпадает с координатными осями, коэффициенты равны самим координатам вектора без дополнительных вычислений и уравнений.

$x a_1 + y b_1 = c_1,\quad x a_2 + y b_2 = c_2$

Разбор по случаям

Примеры

По координатам базиса. Вектор $\vec{c} = (7, 4)$ на координатной плоскости из учебной задачи по алгебре и геометрии нужно разложить по двум базисным векторам $\vec{a} = (1, 1)$ и $\vec{b} = (2, -1)$, заданным своими известными координатами на этой же плоскости. Составляем систему уравнений по каждой координате отдельно: $x + 2y = 7$ и $x - y = 4$. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $3y = 3$, откуда $y = 1$, а затем находим $x = 4 + 1 = 5$.

Итоговое разложение записывают так: $\vec{c} = 5\vec{a} + 1\vec{b}$.

Базис — координатные орты. Вектор $\vec{c} = (3, -5)$ задан относительно стандартного базиса из ортов $\vec{i}$ и $\vec{j}$, направленных строго вдоль осей координат на плоскости чертежа в тетради. Поскольку базис здесь полностью совпадает с осями координат, коэффициенты разложения равны самим координатам вектора без каких-либо дополнительных вычислений: $x = 3$ и $y = -5$.

Разложение записывают так: $\vec{c} = 3\vec{i} - 5\vec{j}$, что легко проверяется простым сложением координат обратно.

Частые ошибки

• Путают координаты вектора с коэффициентами разложения в случаях, когда базис не совпадает с осями координат.
• Составляют систему уравнений неверно, подставляя координаты базисных векторов не в те строки уравнения.
• При использовании метода Крамера забывают проверить, что главный определитель системы не равен нулю.

Коротко

Универсальный способ, как найти коэффициент разложения вектора, — составить систему линейных уравнений по координатам базиса и разлагаемого вектора. Решение системы любым способом даёт одну и ту же пару коэффициентов при верных исходных данных.