Как найти модуль вектора по координатам

Чтобы понять, как найти модуль вектора по координатам, нужно возвести каждую координату в квадрат, сложить квадраты и извлечь из суммы квадратный корень. Для вектора на плоскости с координатами x и y модуль равен корню из суммы их квадратов, а для вектора в пространстве под тем же корнем добавляется ещё координата z. Если вектор задан не координатами, а двумя точками, координаты сначала находят вычитанием координат начала из координат конца.

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Разбор по случаям

Примеры

вектор на плоскости. Вектор задан координатами $a = (3;\,4)$.

Модуль вектора равен корню из суммы квадратов координат: $|a| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Это классическая пара чисел из прямоугольного треугольника со сторонами 3 и 4, поэтому корень извлекается без остатка. Такой вектор можно представить как гипотенузу треугольника, катеты которого равны его координатам на осях.

вектор в пространстве. Вектор в пространстве задан координатами $a = (2;\,3;\,6)$.

Модуль вектора равен $|a| = \sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.

Здесь под корнем складываются квадраты уже трёх координат, а не двух, как на плоскости. Такой вектор может задавать, например, перемещение точки в трёхмерной системе координат сразу по трём осям.

Частые ошибки

• Складывают координаты вектора напрямую, забыв возвести их в квадрат перед сложением.
• При векторе, заданном двумя точками, вычитают координаты конца из начала вместо начала из конца.
• Для пространственного вектора забывают третью координату z и считают модуль только по двум осям.

Коротко

Вопрос, как найти модуль вектора по координатам, всегда сводится к квадратному корню из суммы квадратов координат — двух на плоскости или трёх в пространстве. Если вектор задан точками, координаты сначала находят разностью, а затем применяют ту же формулу.