Как найти координаты вектора AB

Как найти координаты вектора AB: из координат точки B (конца) вычитают координаты точки A (начала), а не наоборот.

Для точек $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ на координатной плоскости вектор $AB = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$.

В пространстве добавляется третья координата: $AB = (x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1)$.

Модуль вектора равен корню из суммы квадратов его координат: $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

Вектор BA имеет те же координаты с обратным знаком, поскольку меняются местами начало и конец отрезка.

Разбор по случаям

Примеры

Координаты на плоскости. Даны точки $A(2;1)$ и $B(6;4)$. Координаты вектора AB находят как разность координат конца и начала по каждой оси отдельно: $AB = (6-2;\ 4-1) = (4;3)$. Первая координата показывает сдвиг на 4 клетки вправо по оси x, вторая — на 3 клетки вверх по оси y.

Модуль вектора равен $|AB| = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$.

Получился знакомый египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5, поэтому корень из 25 извлекается точно, без округления.

Координаты в пространстве. Даны точки $A(1;-2;3)$ и $B(4;0;-1)$ в пространстве.

Вектор AB находят по трём осям сразу: $AB = (4-1;\ 0-(-2);\ -1-3) = (3;2;-4)$.

По оси x сдвиг положительный и равен 3, по оси y тоже положительный и равен 2, а по оси z отрицательный и равен 4, поскольку конец лежит ниже начала.

Проверка модуля: $|AB| = \sqrt{3^2+2^2+(-4)^2} = \sqrt{29}$, корень не извлекается точно, поэтому ответ оставляют в виде корня.

Частые ошибки

• Путают порядок и вычитают координаты точки A из координаты точки B наоборот, получая вектор BA вместо AB.
• Забывают добавить третью координату z при переходе от плоской задачи к пространственной.
• Складывают координаты точек вместо того, чтобы вычесть их друг из друга.

Коротко

Итог: «Как найти координаты вектора AB» — вычесть из координат конца координаты начала, по каждой оси отдельно. В пространстве к разности x и y добавляется ещё разность координат z.