Как найти координаты середины вектора

Как найти координаты середины вектора: складывают одноимённые координаты его начала и конца и делят сумму на два. На плоскости точка M получает координаты xm = (x1+x2)/2 и ym = (y1+y2)/2. В пространстве точно так же находят третью координату zm через полусумму координат по оси z. Середина всегда лежит строго посередине отрезка, если начальная и конечная точки не совпадают между собой.

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

Точки A(1, 1) и B(5, 3). Даны точки $A(1, 1)$ и $B(5, 3)$. Координаты середины находят как полусумму координат концов: $x_m = \dfrac{1+5}{2} = 3$, $y_m = \dfrac{1+3}{2} = 2$. Середина вектора AB — точка $M(3; 2)$, она лежит ровно посередине отрезка между точками A и B. Расстояние от точки A до точки M равно расстоянию от точки M до точки B.

Точки A(2, −3, 4) и B(6, 1, 0) в пространстве. Даны точки $A(2, -3, 4)$ и $B(6, 1, 0)$ в пространстве.

Координаты середины находят по трём осям отдельно: $x_m = \dfrac{2+6}{2} = 4$, $y_m = \dfrac{-3+1}{2} = -1$, $z_m = \dfrac{4+0}{2} = 2$.

Середина вектора — точка $M(4; -1; 2)$, она лежит внутри отрезка AB ровно посередине сразу по всем трём осям пространственных координат, что легко проверить сложением расстояний до концов отрезка.

Частые ошибки

• Вычитают координаты вместо того, чтобы складывать их перед делением на два.
• Делят сумму координат не на два, а на количество точек или на длину вектора по ошибке.
• Путают середину вектора AB с серединой вектора BA и меняют местами координаты A и B, хотя середина у них одна и та же.

Коротко

Координаты середины вектора равны полусумме соответствующих координат его начала и конца — на плоскости по двум осям, в пространстве по трём. Так отвечают на вопрос, как найти координаты середины вектора, для любых заданных точек.