Как найти координаты вектора, если известны координаты точек

Вопрос «Как найти координаты вектора, если известны координаты точек» решается вычитанием: из координат конца вычитают соответствующие координаты начала, по каждой оси отдельно. На плоскости вектор AB = (x2−x1; y2−y1), в пространстве к этой паре добавляется ещё разность координат z. Если вектор уже задан, а известна только одна точка, вторую находят обратным действием — прибавлением координат вектора к первой точке отрезка, а не вычитанием.

$\vec{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$

Разбор по случаям

Примеры

точки A(2;5) и B(7;1). Даны точки $A(2;5)$ и $B(7;1)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ находим вычитанием координат начала из координат конца: $\vec{AB} = (7-2;\ 1-5) = (5;-4)$.

Первая координата — разность абсцисс точек, вторая — разность их ординат, знак минус здесь важен и его нельзя терять.

точки в пространстве A(1;0;3) и B(4;2;−1). Даны точки в пространстве $A(1;0;3)$ и $B(4;2;-1)$.

Координаты вектора: $\vec{AB} = (4-1;\ 2-0;\ -1-3) = (3;2;-4)$.

Правило то же самое, что и на плоскости, только к паре координат добавляется третья — разность значений $z$ у точек.

Частые ошибки

• Вычитают координаты конца из начала вместо начала из конца, получая вектор с противоположным по знаку значением.
• Путают координаты вектора с координатами середины отрезка и напрасно делят полученную разность пополам.
• Переставляют местами абсциссу и ординату при записи итоговых координат вектора между двумя точками.

Коротко

Координаты вектора всегда находят простым вычитанием координат начала из координат конца отрезка. Так решается вопрос «Как найти координаты вектора, если известны координаты точек» и на плоскости, и в пространстве с тремя осями.