Как найти координаты вектора по точкам

Чтобы понять, как найти координаты вектора по точкам, из координат конца вычитают координаты начала отдельно по каждой оси. На плоскости получают две разности — по оси x и по оси y, а в пространстве добавляется ещё разность по оси z. Такой способ работает для любых точек независимо от их знаков и расположения на координатной плоскости или в пространстве.

$\vec{AB} = (x_2 - x_1;\, y_2 - y_1)$

Разбор по случаям

Примеры

на плоскости. Даны точки $A(2;\, 3)$ и $B(5;\, 7)$ на плоскости, нужно найти вектор $\vec{AB}$.

Из координат конца вычитают координаты начала: $\vec{AB} = (5-2;\, 7-3) = (3;\, 4)$.

Первая координата показывает сдвиг вправо на 3 единицы по оси x, вторая — сдвиг вверх на 4 единицы по оси y. Длину такого вектора при необходимости находят отдельно через теорему Пифагора по этим же координатам.

в пространстве. Даны точки $A(1;\, -2;\, 4)$ и $B(4;\, 2;\, 0)$ в пространстве, нужно найти вектор $\vec{AB}$.

По каждой оси вычитают координату начала из координаты конца: $\vec{AB} = (4-1;\, 2-(-2);\, 0-4) = (3;\, 4;\, -4)$.

Отрицательная третья координата означает, что вектор направлен в сторону уменьшения оси z, а не её увеличения. Знаки первой и второй координат положительные, поэтому по осям x и y вектор смещается в сторону увеличения значений.

Частые ошибки

• Вычитают координаты в обратном порядке — начало минус конец — и получают вектор противоположного направления.
• Путают координаты вектора с координатами середины отрезка и делят разность координат пополам.
• Для вектора в пространстве забывают про третью координату z и считают только по осям x и y.

Коротко

Вопрос, как найти координаты вектора по точкам, решается вычитанием координат начала из координат конца по каждой оси. Способ одинаков для плоскости и пространства, меняется только количество координат — две или три.