Как найти координаты вектора по формуле

Как найти координаты вектора по формуле: если вектор задан точками начала $A(x_1;y_1)$ и конца $B(x_2;y_2)$, его координаты равны $\overrightarrow{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1)$.

Для вектора в пространстве добавляют третью координату по такому же правилу: из координаты конца вычитают координату начала. Порядок вычитания важен: координаты начала всегда отнимают от координат конца, а не наоборот.

Разбор по случаям

Примеры

Вектор по двум точкам. Точка начала вектора $A(1;\,2)$, точка конца $B(6;\,5)$.

Координаты вектора находят вычитанием координат начала из координат конца: $\overrightarrow{AB} = (6-1;\,5-2) = (5;\,3)$.

Проверить результат можно, прибавив координаты вектора к точке $A$: $1+5=6$ и $2+3=5$, что совпадает с точкой $B$.

Сумма двух векторов. Даны два вектора на плоскости: $\vec{a} = (3;\,5)$ и $\vec{b} = (-1;\,2)$.

Координаты суммы находят сложением соответствующих координат по каждой оси отдельно: $\vec{c} = \vec{a}+\vec{b} = (3+(-1);\,5+2) = (2;\,7)$.

Так координаты по оси $x$ и координаты по оси $y$ складываются независимо друг от друга и никак не влияют одна на другую.

Проверка: если из суммы вычесть вектор $\vec{b}$, получаем обратно $\vec{a} = (2-(-1);\,7-2) = (3;\,5)$.

Частые ошибки

• Вычитают координаты начала из координат конца в обратном порядке и получают вектор с противоположным по знаку значением.
• Путают координаты точки с координатами вектора и записывают в ответ саму точку конца вместо нужной разности.
• При сложении векторов складывают координаты разных осей между собой вместо одинаковых осей отдельно, что даёт неверные числа.

Коротко

Как найти координаты вектора по формуле — вычесть из координат конечной точки координаты начальной точки по каждой оси отдельно. В первом примере вектор от точки (1;2) до точки (6;5) получил координаты (5;3), во втором сумма векторов (3;5) и (-1;2) дала вектор (2;7).