Как найти косинус между векторами по координатам

Как найти косинус между векторами по координатам: разделить скалярное произведение векторов на произведение их длин. Скалярное произведение — сумма произведений соответствующих координат, на плоскости складывают произведения x и произведения y, в пространстве добавляют ещё произведение z. Длину каждого вектора находят как корень из суммы квадратов его координат. Полученное число — косинус угла между векторами, а сам угол при необходимости находят через арккосинус.

$\cos\alpha = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

Векторы на плоскости. Даны векторы $a = (3; 4)$ и $b = (4; 3)$.

Скалярное произведение равно $a \cdot b = 3\cdot4 + 4\cdot3 = 24$.

Длины векторов: $|a| = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ и $|b| = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.

Косинус угла: $\cos\alpha = \dfrac{24}{5\cdot5} = 0,96$.

Значение близко к единице, значит угол между векторами небольшой.

Векторы в пространстве. Даны векторы $a = (1; 2; 2)$ и $b = (2; 1; 2)$.

Скалярное произведение равно $a \cdot b = 1\cdot2 + 2\cdot1 + 2\cdot2 = 8$.

Длины векторов: $|a| = \sqrt{1+4+4} = 3$ и $|b| = \sqrt{4+1+4} = 3$.

Косинус угла: $\cos\beta = \dfrac{8}{3\cdot3} = \dfrac{8}{9} \approx 0,89$.

Значение положительное и близко к единице, угол острый и небольшой.

Частые ошибки

• Складывают модули координат вместо произведений одноимённых координат при вычислении скалярного произведения векторов.
• Забывают третью координату z, когда векторы заданы в пространстве тремя числами, а не двумя на плоскости.
• Подставляют координаты точек напрямую вместо координат вектора, не вычтя из координат конца координаты начала.

Коротко

Как найти косинус между векторами по координатам, показывает формула отношения скалярного произведения к произведению длин. Результат — число от −1 до 1: положительное значение отвечает острому углу между векторами, отрицательное — тупому.