Как найти косинус угла между плоскостями

Вопрос «Как найти косинус угла между плоскостями» решают через нормальные векторы: берут координаты n1 = (A1, B1, C1) и n2 = (A2, B2, C2) прямо из уравнений плоскостей и подставляют в формулу cos φ = |n1·n2| / (|n1|·|n2|). Модуль в числителе нужен потому, что угол между плоскостями по определению острый или прямой, даже если нормали направлены в разные стороны и их скалярное произведение отрицательно.

$\cos\varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

уравнения через коэффициенты. Плоскости заданы уравнениями $x + 2y + 2z - 3 = 0$ и $2x - y + 2z + 1 = 0$. Их нормали читаются прямо из коэффициентов при переменных, без дополнительных построений: $n_1 = (1, 2, 2)$ и $n_2 = (2, -1, 2)$.

Скалярное произведение векторов равно $1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot2 = 4$, а длины векторов совпадают и равны $|n_1| = |n_2| = 3$.

Подставляем найденные числа в формулу и получаем итог: $\cos\varphi = 4/9$, значит искомый угол между плоскостями острый.

координатная плоскость. Плоскость $z = 0$ имеет простую нормаль $n_1 = (0, 0, 1)$, потому что уравнение содержит только переменную z без x и y, а вторая плоскость $x + 2y + 2z - 6 = 0$ даёт нормаль $n_2 = (1, 2, 2)$ длиной $|n_2| = 3$.

Скалярное произведение векторов равно $0\cdot1 + 0\cdot2 + 1\cdot2 = 2$, поэтому итоговый косинус искомого угла равен $\cos\varphi = 2/3$, а сам угол между плоскостями заметно меньше 60 градусов по величине.

Частые ошибки

• Забывают модуль в числителе и получают отрицательный косинус, хотя угол между плоскостями по определению всегда острый или прямой.
• Путают координаты нормали с координатами точки, через которую проходит плоскость, и подставляют в формулу не те числа.
• Находят длину нормали без квадратного корня, оставляя только сумму квадратов вместо самой длины вектора.

Коротко

Косинус угла между плоскостями считают через скалярное произведение их нормальных векторов, делённое на произведение длин этих векторов, обязательно с модулем в числителе. Такой подход отвечает на вопрос «Как найти косинус угла между плоскостями» и для уравнений с готовыми коэффициентами, и для плоскостей, заданных тремя точками каждая.