Как найти меньший угол между диагоналями параллелограмма

Вопрос «Как найти меньший угол между диагоналями параллелограмма» решают так: диагонали делят точкой пересечения пополам, и рассматривают треугольник из их половин p = d1/2, q = d2/2 и стороны a. По теореме косинусов cos θ = (d1² + d2² − 4a²) / (2·d1·d2). Если результат положительный, это и есть искомый острый угол; если отрицательный, берут дополнение до 180°.

$\cos\theta = \frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2d_1d_2}$

Разбор по случаям

Примеры

диагонали и сторона. Диагонали параллелограмма $d_1 = 8$ см и $d_2 = 10$ см, сторона $a = 5$ см.

Считаем по теореме косинусов для треугольника, составленного из половин диагоналей и стороны: $\cos\theta = \frac{64 + 100 - 100}{2\cdot8\cdot10} = \frac{64}{160} = 0{,}4$.

Отсюда $\theta = \arccos(0{,}4) \approx 66{,}4°$ — это и есть меньший из двух углов между диагоналями данного параллелограмма, второй смежный с ним угол тупой и заметно больше первого по величине.

прямоугольник 6 на 8. Стороны прямоугольника $a = 6$ см и $b = 8$ см, диагонали равны между собой и составляют $10$ см каждая.

По формуле для прямоугольника: $\cos\theta = \frac{64 - 36}{36 + 64} = \frac{28}{100} = 0{,}28$, значит $\theta \approx 73{,}7°$ — этот угол заметно меньше, чем угол между диагоналями у квадрата с такой же по длине диагональю той же самой прямоугольной фигуры на школьном чертеже с разметкой.

Частые ошибки

• Забывают умножить квадрат стороны на коэффициент 4 в теореме косинусов и подставляют a² вместо 4a², получая неверный угол.
• Берут больший из двух смежных углов между диагоналями вместо меньшего, хотя сумма их углов равна ровно 180°.
• В формуле через площадь путают синус с косинусом и получают угол, совсем не согласующийся с данными из условия задачи.

Коротко

Ответ на вопрос «Как найти меньший угол между диагоналями параллелограмма» даёт теорема косинусов в треугольнике, составленном из половин диагоналей и стороны фигуры. Для прямоугольника эта же формула упрощается благодаря равенству обеих его диагоналей.