Перейти к содержанию
НейроСова
Нейро
Сова

Как найти косинус угла в обычном треугольнике

В произвольном треугольнике косинус угла выражают через теорему косинусов, а не через отношение катетов, как в прямоугольном.

ГеометрияОбновлено 8 сентября 2026 г.3 мин чтения

Как найти косинус угла в обычном треугольнике?

Нейросова

Как найти косинус угла в обычном треугольнике, показывает теорема косинусов: косинус угла равен сумме квадратов двух прилежащих к нему сторон минус квадрат противоположной стороны, делённой на удвоенное произведение прилежащих сторон. Формула работает для любого треугольника — остроугольного, тупоугольного и прямоугольного, в отличие от отношения катета к гипотенузе, которое годится только для прямого угла. Если вершины заданы координатами, косинус находят через скалярное произведение векторов сторон, выходящих из угла, разделённое на произведение их длин, что даёт тот же результат другим путём.

cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см, угол напротив стороны 5 см равен примерно 44,4 градуса
Знак косинуса показывает, острый угол или тупой

Разбор по случаям

Что известноФормулаКогда применять
известны все три стороны треугольника a, b, ccos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}стороны даны напрямую или найдены по клеткам, координатам, теореме Пифагора
заданы координаты вершин треугольникаcos⁡α=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣\cos\alpha = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lvert \vec{u}\rvert \,\lvert \vec{v}\rvert }удобнее строить векторы сторон из общей вершины, чем считать длины отдельно
треугольник прямоугольный, угол острый, известны прилежащий катет b и гипотенуза ccos⁡α=bc\cos\alpha = \dfrac{b}{c}среди углов есть прямой, и это заметно проще, чем считать теорему косинусов
известны две стороны и синус угла между ними, например из площадиcos⁡α=±1−sin⁡2α\cos\alpha = \pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}синус уже найден, а нужно определить именно косинус того же угла

Примеры

Три стороны треугольника. Стороны треугольника равны a=5a=5 см, b=6b=6 см, c=7c=7 см.

Угол напротив стороны aa находят так: cos⁡α=(36+49−25)/(2⋅6⋅7)=60/84≈0,714\cos\alpha = (36+49-25)/(2\cdot6\cdot7) = 60/84 \approx 0{,}714.

Отсюда угол α≈44,4∘\alpha \approx 44{,}4^\circ — острый, поскольку косинус положителен.

Тупой угол по трём сторонам. Стороны треугольника равны a=10a=10 см, b=4b=4 см, c=7c=7 см.

Тогда cos⁡α=(16+49−100)/(2⋅4⋅7)=−35/56=−0,625\cos\alpha = (16+49-100)/(2\cdot4\cdot7) = -35/56 = -0{,}625.

Отрицательный косинус сразу показывает, что угол напротив стороны aa тупой, около α≈128,7∘\alpha \approx 128{,}7^\circ.

Частые ошибки

  • Применяют отношение катета к гипотенузе в треугольнике, где нет прямого угла.
  • Путают, какая сторона стоит в числителе с минусом: берут прилежащую сторону вместо той, что лежит напротив искомого угла.
  • Не замечают отрицательный результат косинуса и ищут угол как острый, хотя знак числа прямо говорит о тупом угле напротив самой длинной стороны.

Коротко

Как найти косинус угла в обычном треугольнике, всегда решает теорема косинусов, если известны все три стороны, а знак результата сразу показывает, острый угол или тупой. Через координаты тот же ответ даёт скалярное произведение векторов сторон.

Учебный бот Нейросовы

Бесплатный помощник по учёбе — не только по теме «Геометрия». Решит задачу по действиям, объяснит непонятное место своими словами, ответит на вопросы в конце параграфа.

  • Любой учебный вопрос
  • Понимает фото задания
  • Без регистрации
Спросить бота

Ещё по теме

А можно не писать самому