Как найти противолежащий угол в прямоугольном треугольнике

Как найти противолежащий угол в прямоугольном треугольнике, зависит от того, какие величины уже даны в условии задачи. Если известен второй острый угол β, искомый угол α равен 90° минус β, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90°. Если известны катет, лежащий против искомого угла, и гипотенуза, угол находят через арксинус их отношения. Когда даны оба катета, применяют арктангенс отношения противолежащего катета к прилежащему, а когда известны прилежащий катет и гипотенуза — арккосинус.

$\alpha = 90^\circ - \beta$

Разбор по случаям

Примеры

Даны оба катета. Катеты прямоугольного треугольника равны $a = 6$ см и $b = 8$ см, гипотенуза $c = \sqrt{6^2+8^2} = 10$ см.

Угол α лежит против катета 6 см, поэтому $\alpha = \arctan(6/8) = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}9^\circ$.

Проверка через синус даёт то же значение: $\sin\alpha = 6/10 = 0{,}6$.

Дан второй угол. Второй острый угол того же треугольника равен $\beta = 53^\circ$.

По формуле $\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$.

Небольшое расхождение с 36,9° из первого примера — следствие округления угла β до целых градусов. Более точное значение второго угла $53{,}13^\circ$ даёт результат $36{,}87^\circ$, совпадающий с первым примером.

Частые ошибки

• Складывают острые углы вместо вычитания из 90°, забывая, что их сумма фиксирована.
• Путают противолежащий и прилежащий катет местами в отношении для арксинуса или арктангенса.
• Забывают перевести результат арксинуса или арктангенса из радианной формы в градусы на калькуляторе.

Коротко

Как найти противолежащий угол в прямоугольном треугольнике, определяет набор известных данных: второй угол, катет с гипотенузой или оба катета. Во всех трёх способах для треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см угол против катета 6 см получается около 37°.