Как найти косинус угла в треугольнике

Отвечая на вопрос, как найти косинус угла в треугольнике, действуют по-разному в зависимости от данных: если известны все три стороны, применяют теорему косинусов, где косинус угла равен разности квадратов сторон, делённой на удвоенное произведение двух прилежащих к этому углу сторон. Если треугольник прямоугольный, косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, без всякой теоремы косинусов. Результат можно перевести в градусы через arccos или оставить в виде десятичной дроби.

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Разбор по случаям

Примеры

прямоугольный треугольник. Дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см и гипотенузой $c = 10$ см.

Косинус угла, прилежащего к катету $a$, равен отношению этого катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{6}{10} = 0{,}6$.

Проверка по теореме Пифагора подтверждает стороны: $6^2 + 8^2 = 10^2$. Значит, косинус искомого угла равен $0{,}6$.

произвольный треугольник. Дан треугольник со сторонами $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 7$ см.

По теореме косинусов для угла C, лежащего против стороны $c$: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = 0{,}2$.

Угол C — острый, так как косинус положителен.

Частые ошибки

• Путают, против какой стороны лежит искомый угол, и подставляют стороны треугольника не в том порядке.
• Забывают, что вычитаемый квадрат стороны стоит в числителе именно со знаком минус, а не плюс.
• Используют формулу катет делить на гипотенузу для треугольника, в котором нет прямого угла.

Коротко

Чтобы понять, как найти косинус угла в треугольнике, выбирают подходящую формулу: теорему косинусов для произвольного треугольника или отношение катета к гипотенузе для прямоугольного случая. В обоих случаях результат — число от −1 до 1, которое при необходимости переводят в градусы через arccos.