Как найти косинус угла по теореме косинусов

Как найти косинус угла по теореме косинусов — из суммы квадратов двух сторон вычесть квадрат стороны, противолежащей искомому углу, и разделить результат на удвоенное произведение этих двух сторон: cos C = (a² + b² − c²)/(2ab). Если результат положительный, угол острый, если отрицательный — тупой. Сам угол находят через арккосинус полученного числа, если нужен не косинус, а его градусная мера.

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Разбор по случаям

Примеры

Косинус тупого угла. Стороны треугольника равны a = 3 см, b = 5 см, c = 7 см, угол C лежит напротив стороны c.

Подставляем значения в формулу теоремы косинусов: подставим $\cos C = \frac{3^2+5^2-7^2}{2\times3\times5} = \frac{9+25-49}{30} = \frac{-15}{30} = -0{,}5$.

Косинус угла оказался отрицательным, значит угол C тупой и равен $120^\circ$. Такой результат нормален для треугольника с сильно вытянутой формой.

Косинус острого угла. Стороны треугольника равны a = 5 см, b = 8 см, c = 7 см, угол C снова напротив стороны c.

Подставляем значения в ту же формулу: подставим $\cos C = \frac{5^2+8^2-7^2}{2\times5\times8} = \frac{25+64-49}{80} = \frac{40}{80} = 0{,}5$.

Косинус угла равен 0,5, значит угол C острый и равен $60^\circ$, ровно как углы в равностороннем треугольнике со всеми одинаковыми сторонами.

Частые ошибки

• Путают, какая сторона лежит напротив искомого угла, и подставляют не ту сторону в числитель формулы.
• Забывают, что отрицательный косинус означает тупой угол, и считают вычисление ошибочным.
• Ошибаются в знаке при раскрытии скобок и складывают квадрат стороны c вместо того, чтобы его вычесть.

Коротко

Как найти косинус угла по теореме косинусов, показывает одна формула: из суммы квадратов двух сторон вычитают квадрат третьей и делят на удвоенное произведение первых двух. Знак результата сразу говорит о типе угла — положительный косинус означает острый угол, а отрицательный — тупой.