Как найти квадрат длины вектора a − b

Отвечая на вопрос, как найти квадрат длины вектора a − b, применяют формулу $(a-b)^2 = |a|^2 - 2(a, b) + |b|^2$, где $(a, b)$ — скалярное произведение векторов a и b.

Формула получается из определения скалярного квадрата вектора: $(a-b) \cdot (a-b) = a \cdot a - 2 a \cdot b + b \cdot b$.

Если векторы заданы координатами, проще сначала найти координаты разности векторов, а затем возвести в квадрат её длину по теореме Пифагора.

Разбор по случаям

Примеры

Векторы заданы координатами. Даны векторы $\vec{a}(3; 4)$ и $\vec{b}(1; 2)$.

Находим координаты разности: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (3-1;\ 4-2) = (2; 2)$.

Квадрат длины разности: $|c|^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

Значит, квадрат длины вектора a − b равен 8.

Проверка через скалярное произведение: $|a|^2 = 25$, $|b|^2 = 5$, $(a,b) = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 11$, тогда $(a-b)^2 = 25 - 22 + 5 = 8$.

Известны длины и угол между векторами. Пусть $|a| = 3$, $|b| = 2$, а угол между векторами $\alpha = 60^\circ$, где $\cos 60^\circ = 0{,}5$.

По формуле: $(a-b)^2 = 3^2 - 2 \times 3 \times 2 \times 0{,}5 + 2^2 = 9 - 6 + 4 = 7$.

Квадрат длины разности векторов равен 7.

Проверка: скалярное произведение $(a,b) = |a||b|\cos\alpha = 3 \times 2 \times 0{,}5 = 3$, что и даёт средний член $2 \times 3 = 6$ в формуле.

Частые ошибки

• Забывают средний член формулы с удвоенным скалярным произведением и считают квадрат разности как простую сумму квадратов длин.
• Путают знак перед скалярным произведением и складывают его вместо вычитания, получая формулу суммы векторов вместо разности.
• При работе с координатами вычитают координаты векторов в обратном порядке, хотя на итоговый квадрат длины это на самом деле не влияет.

Коротко

Отвечая на вопрос, как найти квадрат длины вектора a − b, раскладывают его через квадраты длин исходных векторов и удвоенное скалярное произведение между ними. При заданных координатах проще сразу найти координаты разности и возвести в квадрат её длину.