Как найти квадрат вектора

Чтобы понять, как найти квадрат вектора, достаточно вспомнить, что квадрат вектора — это скалярное произведение вектора на самого себя, и оно всегда равно квадрату длины этого вектора. Если вектор задан координатами, его квадрат находят как сумму квадратов всех координат. Если известна длина вектора, квадрат вектора получают, просто возведя эту длину в квадрат, без дополнительных вычислений и построений.

$a^2 = x^2 + y^2$

Разбор по случаям

Примеры

координаты (3; 4). Вектор задан координатами $a(3; 4)$ на плоскости, а начало этого вектора совпадает с началом координат.

Квадрат вектора равен сумме квадратов его координат: $a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Заодно видно, что модуль вектора $|a| = \sqrt{25} = 5$, ведь корень из квадрата вектора всегда даёт его длину в тех же единицах, что и заданные координаты исходного вектора.

сумма векторов с углом 60°. Векторы имеют длины $|a| = 3$ и $|b| = 4$, угол между ними равен 60°, косинус этого угла равен $0{,}5$ по таблице значений.

Квадрат суммы векторов находят по формуле, которая учитывает не только квадраты длин, но и угол между самими векторами: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab\cos\varphi + b^2 = 9 + 2 \times 3 \times 4 \times 0{,}5 + 16 = 37$.

Такой же подход применяют и для квадрата разности векторов, только знак у среднего слагаемого меняется на противоположный.

Частые ошибки

• Путают квадрат вектора, который всегда является числом, с самим вектором и пытаются получить в ответе вектор.
• Складывают координаты вектора напрямую, забывая сначала возвести каждую координату в квадрат по отдельности.
• Забывают учитывать угол между векторами при возведении в квадрат их суммы или разности.

Коротко

Как найти квадрат вектора, всегда сводится к скалярному произведению вектора самого на себя, которое равно квадрату его длины и не зависит от направления. Через координаты, длину или разложение суммы — способ выбирают по тому, что именно дано в условии конкретной задачи.