Как найти угол между двумя прямыми

Ответ на вопрос «Как найти угол между двумя прямыми» зависит от того, как заданы прямые. Если известны угловые коэффициенты k1 и k2 из уравнений y = kx + b, тангенс угла равен модулю дроби (k2 − k1), делённой на (1 + k1k2). Если прямые заданы направляющими векторами или общими уравнениями, угол находят через косинус — по формуле скалярного произведения векторов или коэффициентов при x и y.

$\tan\varphi = \left|\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|$

Разбор по случаям

Примеры

Даны угловые коэффициенты. Угловые коэффициенты прямых $k_1 = 2$ и $k_2 = -3$.

По формуле $\tan\varphi = \left|\dfrac{-3-2}{1+2\cdot(-3)}\right| = \left|\dfrac{-5}{-5}\right| = 1$, откуда $\varphi = 45^\circ$ — угол между двумя прямыми в этом случае равен ровно 45°.

Такой результат получают всякий раз, когда произведение угловых коэффициентов равно -1.

Даны направляющие векторы. Направляющие векторы прямых $p = (3; 4)$ и $q = (4; -3)$.

Скалярное произведение $p_1q_1+p_2q_2 = 3\cdot4+4\cdot(-3) = 0$, поэтому $\cos\varphi = 0$ и $\varphi = 90^\circ$.

Нулевое произведение сразу показывает, что прямые перпендикулярны. Проверять перпендикулярность через скалярное произведение быстрее, чем через тангенс.

Частые ошибки

• Забывают знак модуля в формуле тангенса и вместо острого угла получают отрицательное значение.
• Путают направляющий вектор прямой с нормальным вектором и подставляют в формулу косинуса не те коэффициенты.
• Берут угол между прямыми тупым, хотя по определению этот угол всегда острый или прямой.

Коротко

Как найти угол между двумя прямыми, определяют по тому, что дано: угловые коэффициенты — через тангенс, направляющие векторы или коэффициенты уравнений — через косинус. Итоговый угол всегда берут в пределах от 0° до 90°, поэтому в формулах стоит знак модуля.