Как найти угол между высотой и биссектрисой

Как найти угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины треугольника: он равен половине модуля разности двух других углов треугольника. Биссектриса делит угол вершины пополам, а высота образует прямой угол с противоположной стороной, и разница их направлений как раз и определяется несимметричностью двух оставшихся углов. Если треугольник равнобедренный и вершина находится между равными сторонами, высота и биссектриса совпадают, а угол между ними равен нулю.

$\gamma = \dfrac{|B - C|}{2}$

Разбор по случаям

Примеры

Разносторонний треугольник. В треугольнике углы $A = 80^\circ$, $B = 70^\circ$, $C = 30^\circ$. Из вершины A проведены высота и биссектриса.

Угол между ними: $\gamma = |70^\circ - 30^\circ| / 2 = 40^\circ / 2 = 20^\circ$.

Сумма углов треугольника проверена: $80+70+30=180^\circ$.

Прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике угол при вершине C равен $90^\circ$, а острые углы $A = 50^\circ$ и $B = 40^\circ$. Из вершины C проведены высота к гипотенузе и биссектриса прямого угла.

Угол между ними: $\gamma = |50^\circ - 40^\circ| / 2 = 5^\circ$.

Частые ошибки

• Берут полусумму двух других углов вместо полуразности, получая совсем неверную формулу.
• Забывают взять модуль разности и получают отрицательный угол там, где нужен просто меньший из двух углов.
• Ищут угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из разных вершин треугольника, хотя формула работает только для одной общей вершины.

Коротко

Как найти угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины, показывает половина разности двух других углов треугольника. В равнобедренном треугольнике с вершиной между равными сторонами этот угол равен нулю, потому что все три отрезка совпадают.