Как найти угол между двумя скрещивающимися прямыми

Как найти угол между двумя скрещивающимися прямыми, проще всего показывают направляющие векторы: у каждой прямой берут вектор вдоль неё и находят косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. В числителе ставят модуль, потому что угол между прямыми всегда берут от 0° до 90°, а угол между векторами может оказаться тупым. Если векторов нет, одну из прямых переносят параллельно себе до пересечения со второй и измеряют обычный угол между пересекающимися прямыми, а длины сторон получившегося треугольника берут из условия задачи.

$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$

Разбор по случаям

Примеры

Диагонали граней куба. В кубе с ребром $a = 4$ см возьмём диагональ нижней грани $\vec{p}=(4,4,0)$ и диагональ боковой грани $\vec{q}=(4,0,4)$.

Скалярное произведение $\vec{p}\cdot\vec{q}=16$, длины векторов равны $4\sqrt{2}$ каждая, поэтому $\cos\varphi = 16/32 = 0{,}5$ и $\varphi = 60^\circ$.

Через параллельный перенос. Ребро $AB = 6$ см перенесли в точку $D$, получив треугольник со сторонами $AD = 6$ см, $DC = 8$ см и $AC = 10$ см.

По теореме косинусов $\cos\varphi = (36+64-100)/(2\cdot6\cdot8)=0$, значит $\varphi = 90^\circ$ — прямые перпендикулярны.

Частые ошибки

• Берут косинус угла между векторами без модуля и получают тупой угол вместо острого угла между прямыми.
• Путают направляющий вектор прямой с вектором, лежащим в плоскости, и подставляют в формулу не те координаты.
• После параллельного переноса измеряют не тот угол треугольника, забывая, какая вершина соответствует переносимой прямой и в какую сторону её сдвинули.

Коротко

Как найти угол между двумя скрещивающимися прямыми, зависит от того, что дано: координаты решают через модуль косинуса направляющих векторов, а без координат прямую переносят параллельно себе до пересечения со второй. Оба способа сводятся к одному и тому же острому или прямому углу.