Как найти начало вектора по его координатам

Как найти начало вектора по его координатам: из координат конца вычитают координаты самого вектора по каждой оси отдельно, сначала по оси x, потом по оси y. Если один из компонентов вектора отрицательный, вычитание фактически превращается в сложение с положительным числом. Такой же принцип работает и в пространстве: к правилу просто добавляют третью координату z, которую вычитают точно так же, по отдельной оси.

$x_A = x_B - a_x,\ y_A = y_B - a_y$

Разбор по случаям

Примеры

На плоскости. Вектор имеет координаты $\vec{a} = (2; 3)$, а его конец — точка $B(5; 4)$. Начало находят по формуле $x_A = x_B - a_x$, $y_A = y_B - a_y$: $x_A = 5-2=3$, $y_A = 4-3=1$. Значит, начало вектора — точка $A(3; 1)$, что легко проверить обратным сложением координат вектора и точки начала. Проверка: $3+2=5$ и $1+3=4$ — снова получаются координаты точки $B$.

С отрицательной координатой. Вектор имеет координаты $\vec{a} = (-2; 1)$, а его конец — точка $B(1; 4)$. По формуле $x_A = x_B - a_x$, $y_A = y_B - a_y$ получаем $x_A = 1-(-2)=3$, $y_A = 4-1=3$. Начало вектора — точка $A(3; 3)$, а минус при вычитании координаты превратился в плюс при сложении. Проверка: $3+(-2)=1$ и $3+1=4$ — координаты снова совпадают с точкой $B$.

Частые ошибки

• Прибавляют координаты вектора к координатам конца, хотя начало вектора по координатам находят только вычитанием.
• Теряют знак минус у отрицательной координаты вектора при вычитании чисел друг из друга.
• Путают начало и конец вектора местами и записывают формулу вычитания в обратном порядке.

Коротко

Как найти начало вектора по его координатам, показывает одна и та же простая формула: из координат конца вычитают координаты вектора по каждой оси отдельно. Знаки координат учитывают внимательно, ведь у вектора они нередко бывают отрицательными числами.