Как найти площадь тупоугольного треугольника

Как найти площадь тупоугольного треугольника, зависит от того, какие данные известны: через основание и высоту — $S = \frac{1}{2}ah$; через две стороны и угол между ними — $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$; через три стороны — формула Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Тупой угол не меняет саму формулу, важно лишь верно определить, какая сторона лежит напротив него, и не перепутать высоту с боковой стороной, ведь именно она чаще всего проведена вне самого треугольника.

Разбор по случаям

Примеры

Известны три стороны. Стороны тупоугольного треугольника равны $a = 4$ см, $b = 13$ см и $c = 15$ см.

Полупериметр $p = \frac{4+13+15}{2} = 16$ см.

По формуле Герона $S = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24$ см².

Треугольник действительно тупоугольный, потому что для наибольшей стороны $15^2 = 225$ больше суммы $4^2 + 13^2 = 185$.

Значит, угол напротив стороны 15 см — тупой, а высота, проведённая к этой самой длинной стороне, равна $h = \frac{2 \cdot 24}{15} = 3,2$ см, и её основание лежит за пределами отрезка.

Две стороны и угол между ними. Стороны треугольника равны $a = 6$ см и $b = 4$ см, а угол между ними тупой и равен $\gamma = 150°$.

Площадь по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin150° = \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 4 \cdot 0,5 = 6$ см².

Синус тупого угла $150°$ равен синусу его смежного острого угла $30°$, поэтому знак минус в вычислениях не появляется. Такой приём удобен всегда, когда угол между известными сторонами больше 90 градусов и высоту заранее никто не чертил.

Частые ошибки

• Полупериметр находят как сумму сторон без деления на два, из-за чего в формуле Герона получается неверное число под корнем.
• Синус тупого угла считают отрицательным, хотя синус любого угла от 0° до 180° положителен.
• Высоту при тупом угле проводят внутрь треугольника, хотя её основание должно лежать на продолжении стороны.

Коротко

Как найти площадь тупоугольного треугольника — вопрос решают формулой Герона по трём сторонам, произведением сторон на синус угла между ними или половиной произведения основания на высоту. Тупой угол лишь смещает основание высоты за пределы фигуры, но саму формулу площади не меняет.