Как найти площадь треугольника по клеточкам

Как найти площадь треугольника по клеточкам: вершины вписывают в прямоугольник по крайним координатам, находят его площадь и вычитают площади трёх прямоугольных треугольников по углам. Например, для вершин (1;1), (5;2) и (2;5) прямоугольник даёт 16 клеток, угловые треугольники — 8,5 клетки, а разность 7,5 клетки и есть искомая площадь. Тот же результат даёт теорема Пика через точки на границе и внутри контура.

$S = \frac{B}{2} + I - 1$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольник минус треугольники. Вершины треугольника — точки $A(1;1)$, $B(5;2)$, $C(2;5)$ на клетчатой бумаге, ни одна сторона не идёт точно вдоль линий сетки. Вписанный прямоугольник по крайним координатам имеет стороны $4$ и $4$ клетки, его площадь равна $16$. Три угловых прямоугольных треугольника по краям дают площади $2$, $4{,}5$ и $2$ клетки, в сумме составляя $8{,}5$ клетки. Площадь искомого треугольника получают вычитанием: $16-8{,}5=7{,}5$ клетки.

Другой треугольник на сетке. Вершины другого треугольника — точки $A(0;0)$, $B(5;1)$, $C(1;4)$, и снова все стороны расположены наклонно к линиям сетки. Прямоугольник вокруг фигуры по крайним точкам имеет площадь $5\cdot4=20$ клеток. Угловые треугольники по краям занимают $2{,}5$, $6$ и $2$ клетки, что в сумме даёт $10{,}5$ клетки. Площадь самого искомого треугольника равна разности $20-10{,}5=9{,}5$ клетки.

Частые ошибки

• Считают только целые клетки внутри контура и не учитывают половинки клеток, разрезанные стороной треугольника.
• Строят описанный прямоугольник неверно, беря не крайние координаты вершин, а произвольные соседние линии сетки.
• Забывают вычесть единицу и прибавить половину граничных точек при подсчёте площади через теорему Пика.

Коротко

Как найти площадь треугольника по клеточкам, показывает способ прямоугольника с вычитанием угловых треугольников или теорема Пика через число узлов сетки. Оба способа дают одинаковый результат для любого треугольника с вершинами в узлах сетки.